Let's Share your experience!!!

Close (X)


Apakah Anda membutuhkan sistem aplikasi untuk data science, absensi, pertokoan, sistem mikrokontroler Arduino/ Raspberry Pi?
Kami menyediakan semua kebutuhan sistem penyimpanan data jurnal dan akuntansi untuk toko anda, Dapat dikembangkan untuk sistem koperasi, Apapun permasalahan pertokoan, kami solusinya.
Kami di sini semua
Silahkan daftar atau gunakan akses kami menggunakan username kasir dan pasword 123456

Saturday, April 16, 2016

ALJABAR BOOLEAN

  1. Pengantar.
  • Jika B adalah himpdengan 2 operasi biner (+ dan *) dan operasi [’], elemen 0 dan 1 merupakan 2 elemen berbeda dalam B, maka [B, +, *, ’, 0, 1] disebut aljabar Boolean jika aksioma-aksioma berlaku untuk setiap elemen a, b, c dalam B, sbb :
Hukum komutatif.
a+b=b+a                          a*b=b*a
Hukum distributif.
a*(b+c)=(a*b)+(a*c).
a+(b*c)=(a+b)*(a+c).

Hukum identitas.
a+0=a.                              a*1=a
Hukum komplemen.
a+a’=1.                            a*a’=0.
  • Dlm Aljabar Boolean, elemen 0 disebut elemen zero, elemen 1 disebut elemen unit, a’ disebut komplemen a.
  • Hukum-hukum lain yang berlaku dalam aljabar Boolean :
1.Hukum idempotent.
a+a=a.                                   a*a=a.
2.Hukum keterbatasan (boundedness).
a+1=1                                    a*0=0.
3.Hukum penyerapan (absorbsi).
a+(a*b)=a.                           a*(a+b)=a.
4.Hukum asosiatif.
(a+b)+c=a+(b+c).               (a*b)*c=a*(b*c)
5.Hukum De Morgan.
(a+b)’ = a’ * b’                   (a*b)’=a’+b’
  • Aljabar Boolean 2 nilai (0 dan 1).
  • +01
    001
    111
  • aa’
    10
    01
  • *01
    000
    101
  • Contoh :
Jika a=1101, b=1011, maka :
1.a+b   = 1111.
2.a*b  = 1001.
3.a’  = 0010.
Catatan :
  • 1. a+b = KPK(a,b).
  • 2. a*b = FPB(a,b).
Contoh :
  • 2+2=2               2*2=2                 3+7   =                   6*8     =
  • 2+4=4               2*4=2                4+9   =                   12*18 =
  • 4+6=12            4*6=2                4+10 =                    5*10   =
  • 3+5=15            3*5=1                6+8   =                    6*9     =
Contoh :
  • D70={1,2,5,7,10,14,35,70} pembagi 70, maka :
  • 1. 10+14=70. 4. 2+5=10.
  • 2. 10*14=2. 5. 10*35=5.
  • 3. 10’=70/10=7. 6. 5’=70/5=14.
Tentukan :
  • X=35*(2+7’) =
  • Y=(35*10)+14’ =
  • Z=(2+7)*(14+10)’   =
  • Buktikan hukum penyerapan.
  • Buktikan hukum distributif.
  • Buktikan hukum De Morgan.
Prinsip Dualitas
  • Prinsip dualitas dari S adalah pernyataan yang diper-oleh dengan mengubah oprasi + menjadi * (atau seba-liknya) dan elemen 0 menjadi 1 (atau sebaliknya).
Contoh :
(a*1)*(0+a’)=0 dualnya : (a+0)+(1*a’)=1.
a+a’b = a+b  dualnya :   a(a’+b) = ab
Tentukan dual dari :
1.a(a’+b)=ab.
2.(a+1) (a+0)=a
3.(a+b) (b+c) =ac+b
  Pembuktian rumus dualitas dilakukan berdasarkan ak-sioma dan sifat aljabar Boolean, yaitu:
  • Buktikan bahwa :
a+a = a
Pembuktian :
  a+a  = (a+a) (1)               identitas
           = (a+a) (a+a’)         komplemen
           = a+(a.a’)                distributif.
           = a+0                        identitas.
          = a.
a.a = a
Pembuktian :
  a.a  = (a.a) + 0               identitas
         = (a.a) + (a.a’)         komplemen
         = a (a+a’)                 distributif.
         = a.1                         identitas.
         = a.
a+1 = 1
Pembuktian :
  a+1  = a+(a+a’)         komplemen
          = (a+a) +a’         asosiatif
          = a+a’                 distributif.
          = 1                       komplemen.
Fungsi Boole.
  • Aljabar Boole 2 nilai, B={0,1}. Peubah (variabel) x di-sebut peubah Boole (peubah linier) jika nilainya hanya dari B. Fungsi Boole adalah ekspresi yang dibentuk dari peubah biner, 2 operator biner [+] dan [*], operator uner komplemen [‘]. Setiap peubah Boole, termasuk komplemen disebut literal.
Contoh :
1.f(x)   = x
2.f(x,y)  = x’y + xy’ + y’
3.f(x,y)  = x’ y’
4.f(x,y,z)   = xyz’
5.f(x,y,z)   = xy’z + yz’ + xyz’
  • Fungsi : h(x,y,z) = xyz’
  • Untuk : h(1,1,0) = 1.1.0’
                             = 1.1.1
                            = 1.
Contoh :
  • Diketahui fungsi Boole h(x,y,z) = xyz’ nyatakan h dalam bentuk tabel kebenaran.
XYZZ’h=xyz’
00010
00100
01010
01100
10010
10100
11011
11100
Prinsip dualitas.
  • Dual dari fungsi Boole adalah fungsi lain yang diperoleh dengan mengubah + menjadi * (atau sebaliknya) dan 0 menjadi 1 (atau sebaliknya), komplemen tetap komplemen. 
  • Fungsi F dualnya adalah F*
  • Contoh :
  1. F = (a*1) * (0+a’) = 0, dualnya :
    F* = (a+0) + (1+a’) = 1.
  1. F = a+a’b=a+b, dualnya :
    F* = a*(a’+b)=a*b.
Komplemen fungsi : 
  • Komplemen dari fungsi f adalah f’. Komplemen fungsi dapat dicari dengan 2 cara :
1. Dengan dual, yaitu :
Tentukan dual fungsinya.
Komplemenkan setiap variabelnya.
2. Dengan hukum De Morgan.
(x+y)’ = x’. y’
(x.y)’ = x’ + y’
Contoh :
Tentukan komplemen dari :
  1. f(x,y) = (x+y), maka :
    f’(x,y) = (x+y)’
               = x’.y’ 
  1. f(x,y,z) = x(y’z’+yz).
f’(x,y,z,) = [x (y’z’+yz)]’
            = x’+(y’z’+yz)’
           = x’+(y’z’)’.(yz)’
         = x’+(y+z)+(y’+z’).
Bentuk Kano Hukum-hukum Boole yang banyak digunakan adalah :
1.Hukum distributif.
x(y+z)=(xy)+(xz).
x+yz=(x+y) (x+z).
2.Hukum De Morgan.
(x+y)’ = x’. y’
(xy)’ = x’+ y’
  Ada dua bentuk kanonik , yaitu :
  1. Minterm atau sum–of–product (SOP, notasi S/sigma)
SOP mrpk penjumlahan dari hasil kali.
  1. Maxterm atau product–of–sum (POS, notasi Π/phi)
POS mrpk perkalian dari hasil jumlah.
Minterm dan Maxterm 2 peubah biner :
XYMintermMaxterm
SukuLambangsukuLambang
00x’ymox+yMo
01x’ym1x+yM1
10xy’m2x’+yM2
11xym3x‘+y’M3
Minterm dan Maxterm 3 peubah biner :
XYZMintermMaxterm
SukuLambangsukuLambang
000x’y’z’mox+y+zMo
001X’y’zm1x+y+z’M1
010X’yzm2x+y’+zM2
011X’yzm3x+y’+z’M3
100xy’z’m4x’+y+zM4
101xy’zm5x’+y+zM5
110xyz’m6x’+y’+zM6
111xyzm7x’+y’+zM7
SOP : Kombinasi peubah yang menghasilkan nilai 1 dan
POS : Kombinasi peubah yang menghasilkan nilai 0
Contoh (1) :
Tentukan nilai SOP dan POS pada tabel :
SOP :
F(x,y)    = x’y’ + xy
              = m0+m3   
              = S(0,3)
POS :
F(x,y)    = xy’ + x’y
             = M1.M2.   
             = Π(1,2)
xyf(x,y)
001
010
100
111
Contoh (2) :
Tentukan nilai SOP dan POS pada tabel :
xyZf(x,y,z)
0000
0011
0100
0110
1001
1010
1100
1111
SOP :
f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
f(x,y,z) = m1 + m 4 + m7   = S(1,4,7) 
POS :
f (x,y,z)=(x+y+z)(x+y’+z)(x+y‘+z’) (x’+y+z’)(x’+y’+z)
f (x,y,z)=Mo.M2.M3.M5.M6= Π(0,2,3,5,6)
Contoh (3) :
Nyatakan fungsi Boole  f(x,y,z)=x+y’z dlm SOP dan POS
Jawab :
  1. SOP :
Tiap suku harus memuat literal lengkapshg :
x  = x(y+y’ )
    = xy+xy
    = xy(z+z’)+xy’(z+z’)
    xyz+xyz’+xy’z+xy’z
y’z = y’z(x+x’)
      = xy’z+x’y’z 
Jadi  f (x,y,z )=x+y’z
  = xyz+xyz’+xy’z+xy’z’+xy’z+x’y’z
  = m1+m4+m5+m6+m7
  = S (1,4,5,6,7)
  1. POS :
f(x,y,z ) = x+y’z
      = (x+y’)(x+z
Tiap suku harus memuat literal lengkapshg :
x+y’  = x+y’+zz’.
         = (x+y’+z) (x+y’+z’).
x+z   = x+z+yy’.
         = (x+y+z) (x+y’+z). 
Jadi f(x,y,z)=(x+y’+z) (x+y’+z’) (x+y+z) (x+y’+z).
                 = (x+y’+z) (x+y’+z’) (x+y+z).
                 = Mo.M2.M3.
                 = Π(0,2,3).
Share:

0 komentar:

Post a Comment

Blog Archive