KOMBINATORIAL

Aturan Perkalian

Misalkan terdapat n tempat yang tersedia dengan:

• P1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama
• P2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi
• P3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi
• Pn adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat kedua, ketiga, …, (n-1) terisi
• Dari pernyataan di atas, maka dapat disimpulkan banyak cara untuk mengisi n tempat secara keseluruhan adalah:

P1 x P2 x P3 x …. x Pn

Diketahui angka-angka 0,1,2,3,4. berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut jika tidak boleh ada angka yang sama !

Jawab

Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan

• Nilai Ratusan (angka pertama) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 1, 2, 3, 4 (misalnya angka 2)
• Nilai puluhan (angka kedua) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 0,1,3,4 (misalnya angka 4)
• Nilai satuan (angka ketiga) dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu 0,1,3 (misalnya angka 0)
• Sehingga diperoleh 4 x 4 x 3 = 48 bilangan

1. Pengantar.

• Kombinatorial adalah cabang matematika yang mem-pelajari pengaturan obyek–obyek.

  Percobaan :

• Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau kejadian. Percobaan ada-lah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

Contoh :

1. Melempar dadu. Ada 6 hasil yang mungkin yaitu 1,2,3,4,5, dan 6.
2. Melempar koin. Ada 2 hasil (H,T).
3. Mengambil 1 kartu dari kartu bridge. Ada 52 hasil.

• Kaidah Dasar Menghitung Ada dua kaidah dasar untuk mengitung kombinatorial,

1. Kaidah Perkalian (rule of product).

  Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan  percobaan ke-2 mempunyai q hasil, maka bila percobaan 1 dan 2 dilakukan, maka hasilnya = pxq

Contoh 1 :

• Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 pria dan 1 wanita ?

Jawab :

Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika dipilih 1 pria dan 1 wanita, maka jumlah kemungkinan = 3 x 4 = 12

• Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
• Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan percobaan ke-2 mempunyai q hasil, maka bila hanya satu percobaan salah satu saja yang dilakukan  (percobaan 1 atau 2), maka kemungkinan hasil = p+q 

Contoh 2 :

• Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita).

Jawab :

• Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika 1 orang yang dipilih, maka jumlah kemungkinan = 4+3=7.

1. Faktorial.

• n! (n factorial), n! = n (n-1) (n-2) … (n(n-1)).
• Contoh :
• 4! = 4x3x2x1 = 24.
• 3! = 3x2x1 = 6.
• 1! = 1.
• 0! = 1.

1. Permutasi

• Permutasi adalah pengaturan obyek-obyek kedalam urutan berbeda dimana susunan obyek diperhatikan. (Susunan AB¹BA).

Notasi :

• P(n,r) atau nPr
•                    n!
• P(n,r) = ----------
•                 (n–r)!
• Jika r=n, maka :
•                    n!            n!
• P(n,n) = ---------- = ------- = n!
•                 (n-n)!          0!

• Contoh (1) :
• Pengurus organisasi akan membentuk panitia beranggotakan 3 orang dari 3 orang calon (ABC). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?

Jawab :

• R = n = 3
• P(3,3) = 3! = 6.
• Macam pasangan : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
• Contoh (2) :
• Sidang MPR akan memilih presiden dan wakilnya. Ada 5 calon presiden dan wapres (ABCDE). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
• Jawab :
•                  5 !         5!
• P(5,2) = -------- = ----- = 20.
•                 (5–2)!    3!

• Macam pasangan :
• AB, AC, AD, AE BC, BD, BE CD, CE  DE
• BA, CA, DA, EA CB, DB, EB DC, EC  ED
• Permutasi dengan pengulangan :
•                                           n!  
• P(n ; r1,r2,r3, … ) = ---------------  
•                                    r1! r2! r3! …  
• Contoh :
• Ada 12 karton akan yang diwarnai : 3 warna hijau, 2 warna merah, 2 warna kuning, dan sisanya warna biru, berapa jumlah cara pengecatannya ?
• n=12, r1 (H)=3, r2 (M)=2, r3 (K)=2, r4 (K)=5,
•             12!
• m = -------------- = 166.320.
•          3! 2! 2! 5!

2.Berapa macam susunan string ABA ? Dgn percobaan : ABA, AAB, BAA shg m=3. Dgn rumus m = .......

3.Berapa macam susunan string KATAK ?

4.Berapa macam susunan string JAYAKARTA ?

5.Berapa macam susunan string KUKUKAKIKU ?

1. Kombinasi

• Kombinasi merupakan pengurutan obyek-obyek dgn susunan diabaikan. Susunan AB=BA.
• Kombinasi r dari n obyek dinotasikan dengan :
• C(n,r) = nCr, dimana :
•                     n!
• C(n,r) = ------------
•                r! (n-r)!Contoh (1) :

• John akan membeli 2 PC. Di toko terdapat 4 PC. Ada berapa pilihan bagi John ? PC={P,Q,R,S}
• n=4, r=2, maka :

                           4!              4!

• C(4,2) = ------------ = ------- = 6
•                (4–2)! 2!      2! 2!
• Pilihan : PQ, PR, PS, QR, QS, RS.

Contoh (2) :

• Ada 5 orang (ABCDE) peserta tes yang akan mengikuti wawancara. Setiap wawancara dipanggil 3 orang utk masuk ke ruang tes. Ada berapa cara pemanggilan ?

                           5!              5!

• C(5,3) = ------------ = ------- = 10.
•                (5–3)! 3!     2! 3!
• Susunannya adalah :
• ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.

Kombinasi dengan pengulangan

• C(n+r–1, r) adalah kombinasi yang memperbolehkan adanya pengulangan elemen, yaitu dari n buah obyek akan diambil r buah objek.

Contoh (3) :

• Dua koin dilempar bersama-sama, berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin.
• Jawab :
• C(2+2–1, 2) = C(3,2) = 3
• Hasil : TT, TH, HH

Contoh (4) :

• Dua dadu dilempar bersama-sama, berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin ?
• Jawab :
• C (6+2–1, 2 ) = C(7,2) = 21.

  1-1  1-2  1-3  1-4  1-5   1-6

  2-2  2-3  2-4  2-5  2-6

  3-3  3-4  3-5  3-6

  4-4  4-5  4-6

  5-5  5-6

  6-6

Contoh  (5) :

• Tiga buah dadu dilempar bersamaan. Berapa banyak-nya hasil berbeda yang mungkin ?
• Jawab :
• C (6+3–1, 3 ) = C(8,3) = 56.

Contoh  (6) :

• Pak Yanto akan membeli 2 ayam dan 1 sapi dari pe-dagang. Pedagang memiliki 3 ayam dan 2 sapi. Ada berapa macam pilihan bagi Pak Yanto ?
• Jawab :
• Ayam : A1, A2, A3.
• Sapi : S1, S2.
• Alternatif :
• A1-A2-S1, A1-A3-S1, A2-A3-S1,
• A1-A2-S2, A1-A3-S2, A2-A3-S2,
• Ada 6 pilihan.

  m = n1 C r1 x n2 C r2 x … 

• n1=3, r1=2.
• n2=2, r2=1.
• m = 3C2. 2C1 = 3(2) = 6.