Let's Share your experience!!!

Close (X)


Apakah Anda membutuhkan sistem aplikasi untuk data science, absensi, pertokoan, sistem mikrokontroler Arduino/ Raspberry Pi?
Kami menyediakan semua kebutuhan sistem penyimpanan data jurnal dan akuntansi untuk toko anda, Dapat dikembangkan untuk sistem koperasi, Apapun permasalahan pertokoan, kami solusinya.
Kami di sini semua
Silahkan daftar atau gunakan akses kami menggunakan username kasir dan pasword 123456

Thursday, April 14, 2016

KOMBINATORIAL

Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat yang tersedia dengan:
  • P1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama
  • P2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi
  • P3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi
  • Pn adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat kedua, ketiga, …, (n-1) terisi
  • Dari pernyataan di atas, maka dapat disimpulkan banyak cara untuk mengisi n tempat secara keseluruhan adalah:
P1 x P2 x P3 x …. x Pn

Diketahui angka-angka 0,1,2,3,4. berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut jika tidak boleh ada angka yang sama !
Jawab
Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan
  • Nilai Ratusan (angka pertama) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 1, 2, 3, 4 (misalnya angka 2)
  • Nilai puluhan (angka kedua) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 0,1,3,4 (misalnya angka 4)
  • Nilai satuan (angka ketiga) dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu 0,1,3 (misalnya angka 0)
  • Sehingga diperoleh 4 x 4 x 3 = 48 bilangan
  1. Pengantar.
  • Kombinatorial adalah cabang matematika yang mem-pelajari pengaturan obyekobyek.
  Percobaan :
  • Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau kejadianPercobaan ada-lah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.
Contoh :
  1. Melempar daduAda 6 hasil yang mungkin yaitu 1,2,3,4,5, dan 6.
  2. Melempar koin. Ada 2 hasil (H,T).
  3. Mengambil 1 kartu dari kartu bridge. Ada 52 hasil.
  • Kaidah Dasar Menghitung Ada dua kaidah dasar untuk mengitung kombinatorial,
  1. Kaidah Perkalian (rule of product).
  Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan  percobaan ke-2 mempunyai q hasilmaka bila percobaan 1 dan 2 dilakukanmaka hasilnya = pxq
Contoh 1 :
  • Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 pria dan 1 wanita ?
Jawab :
Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika dipilih 1 pria dan 1 wanita, maka jumlah kemungkinan = 3 x 4 = 12
  • Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
  • Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan percobaan ke-2 mempunyai q hasilmaka bila hanya satu percobaan salah satu saja yang dilakukan  (percobaan 1 atau 2), maka kemungkinan hasil = p+q 
Contoh 2 :
  • Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita).
Jawab :
  • Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika 1 orang yang dipilih, maka jumlah kemungkinan = 4+3=7.
  1. Faktorial.
  • n! (n factorial), n! = n (n-1) (n-2) … (n(n-1)).
  • Contoh :
  • 4! = 4x3x2x1 = 24.
  • 3! = 3x2x1 = 6.
  • 1! = 1.
  • 0! = 1.
  1. Permutasi
  • Permutasi adalah pengaturan obyek-obyek kedalam urutan berbeda dimana susunan obyek diperhatikan. (Susunan AB¹BA).
Notasi :
  • P(n,ratau nPr
  •                    n!
  • P(n,r) = ----------
  •                 (n–r)!
  • Jika r=n, maka :
  •                    n!            n!
  • P(n,n) = ---------- = ------- = n!
  •                 (n-n)!          0!
  • Contoh (1) :
  • Pengurus organisasi akan membentuk panitia beranggotakan 3 orang dari 3 orang calon (ABC). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
Jawab :
  • R = n = 3
  • P(3,3) = 3! = 6.
  • Macam pasangan : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
  • Contoh (2) :
  • Sidang MPR akan memilih presiden dan wakilnyaAda 5 calon presiden dan wapres (ABCDE). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
  • Jawab :
  •                  5 !         5!
  • P(5,2) = -------- = ----- = 20.
  •                 (5–2)!    3!
  • Macam pasangan :
  • AB, AC, AD, AE BC, BD, BE CD, CE  DE
  • BA, CA, DA, EA CB, DB, EB DC, EC  ED
  • Permutasi dengan pengulangan :
  •                                           n!  
  • P(n ; r1,r2,r3, … ) = ---------------  
  •                                    r1! r2! r3! …  
  • Contoh :
  • Ada 12 karton akan yang diwarnai : 3 warna hijau, 2 warna merah, 2 warna kuning, dan sisanya warna biruberapa jumlah cara pengecatannya ?
  • n=12, r1 (H)=3, r2 (M)=2, r3 (K)=2, r4 (K)=5,
  •             12!
  • m = -------------- = 166.320.
  •          3! 2! 2! 5!
2.Berapa macam susunan string ABA ? Dgn percobaan : ABA, AAB, BAA shg m=3. Dgn rumus m = .......
3.Berapa macam susunan string KATAK ?
4.Berapa macam susunan string JAYAKARTA ?
5.Berapa macam susunan string KUKUKAKIKU ?
  1. Kombinasi
  • Kombinasi merupakan pengurutan obyek-obyek dgn susunan diabaikanSusunan AB=BA.
  • Kombinasi r dari n obyek dinotasikan dengan :
  • C(n,r) = nCrdimana :
  •                     n!
  • C(n,r) = ------------
  •                r! (n-r)!Contoh (1) :
  • John akan membeli 2 PC. Di toko terdapat 4 PC. Ada berapa pilihan bagi John ? PC={P,Q,R,S}
  • n=4, r=2, maka :
                           4!              4!
  • C(4,2) = ------------ = ------- = 6
  •                (4–2)! 2!      2! 2!
  • Pilihan : PQ, PR, PS, QR, QS, RS.
Contoh (2) :
  • Ada 5 orang (ABCDE) peserta tes yang akan mengikuti wawancaraSetiap wawancara dipanggil 3 orang utk masuk ke ruang tes. Ada berapa cara pemanggilan ?
                           5!              5!
  • C(5,3) = ------------ = ------- = 10.
  •                (5–3)! 3!     2! 3!
  • Susunannya adalah :
  • ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
Kombinasi dengan pengulangan
  • C(n+r–1, r) adalah kombinasi yang memperbolehkan adanya pengulangan elemenyaitu dari n buah obyek akan diambil r buah objek.
Contoh (3) :
  • Dua koin dilempar bersama-sama, berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin.
  • Jawab :
  • C(2+2–1, 2) = C(3,2) = 3
  • Hasil : TT, TH, HH
Contoh (4) :
  • Dua dadu dilempar bersama-samaberapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin ?
  • Jawab :
  • C (6+2–1, 2 ) = C(7,2) = 21.
  1-1  1-2  1-3  1-4  1-5   1-6
  2-2  2-3  2-4  2-5  2-6
  3-3  3-4  3-5  3-6
  4-4  4-5  4-6
  5-5  5-6
  6-6
Contoh  (5) :
  • Tiga buah dadu dilempar bersamaanBerapa banyak-nya hasil berbeda yang mungkin ?
  • Jawab :
  • C (6+3–1, 3 ) = C(8,3) = 56.
Contoh  (6) :
  • Pak Yanto akan membeli 2 ayam dan 1 sapi dari pe-dagangPedagang memiliki ayam dan 2 sapiAda berapa macam pilihan bagi Pak Yanto ?
  • Jawab :
  • Ayam : A1, A2, A3.
  • Sapi : S1, S2.
  • Alternatif :
  • A1-A2-S1, A1-A3-S1, A2-A3-S1,
  • A1-A2-S2, A1-A3-S2, A2-A3-S2,
  • Ada 6 pilihan.
  m = n1 C r1 x n2 C r2 x … 
  • n1=3, r1=2.
  • n2=2, r2=1.
  • m = 3C22C1 = 3(2) = 6.
Share:

0 komentar:

Post a Comment

Blog Archive