RELASI DAN FUNGSI

Relasi menyatakan hubungan antara 2 himpunan atau lebih.

Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka perkalian himpunan A dan B

AxB = {(a,b), dimana aEA dan bEB}.

Jika n(A)=p, dan n(B)=q, maka n(AxB)=pxq.

Contoh :

A={1,2,3} dan B={x,y}, maka :

AxB={(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}

• A={1,2}, tentukan A^3
• A^2 = AxA = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2)}
• A^3 = A^2xA={(1,1,1), (1,1,2) (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)
• Relasi biner antara A dengan B, maka Rc(A x B).
• Relasi A ke B, maka
• A : daerah asal (domain).
• B : daerah hasil (kodomain).
• Bagian dari B yang mempunyai relasi dengan A disebut image (range).

• A={1,2,3,4} : domain.
• B={a,b,c,d} : kodomain.
• {a,b,c} : range.

1. Representasi Relasi/Penyajian Relasi

• Ada 5 cara untuk menyajikan relasi, yaitu :

1. Daftar (pasangan berurutan).
2. Diagram anak panah.
3. Tabel.
4. Matriks relasi.
5. Graf berarah.

• Penjelasan.
• Jika A={1,2,3,4} dan B=(x,y,z}.
• R merupakan relasi A ke B dengan definisi relasi
• R={(1,x), (1,z), (2,x), (2,y), (3,y), (3,z), (4,x)}

• Daftar (pasangan berurutan).
• Relasi R disajikan dengan daftar, maka R={(1,x), (1,z), (2,x), (2,y), (3,y), (3,z), (4,x)}
• Diagram anak panah.

• Matriks relasi.
• Relasi disajikan dalam M=mij, dimana A sebagai baris dan B sebagai kolom. Jika antara A dan B ada relasi diberi tanda 1, jika tidak 0.
• Graf berarah.
• Graf berarah digunakan untuk relasi pada, yaitu relasi pada himpunan yang sama (A ke A).
• Contoh :
• A = {1,2,3,4}
• R={(1,2), (1,4), (2,3), (3,4), (4,4).

1. Sifat-sifat Relasi Biner

• Ada beberapa sifat relasi, yaitu :

1. Refleksif (memantul).

       Relasi R pada himp A refleksif jika (a,a)εR untuk setiap aεA.

  Contoh :

         Misalkan A={1,2,3,4,} 

  Relasi  R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} adl refleksif

2.Setangkup (symmetric).

  Relasi R pada himpunan  A disebut setangkup jika untuk semua    a,bεA, jika (a,b)εR maka (b,a)εR.

  Contoh :

         Misalkan A={1,2,3,4}

         Relasi R={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2) adalah relasi setangkup.

3.Menghantar (Transitive).

   Relasi R pada himpunan A disebut menghantar bila (a,b)εR dan (b,c)εR, maka  (a,c)εR, untuk (a,b,c)εA.

  Contoh : 

  Misalkan A={1,2,3,4}

  Relasi R={(1,2), (2,3), (1,3)} bersifat menghantar.

1. Kombinasi Relasi.

• Relasi biner mrpk himp pasangan terurut, shg berlaku juga operasi himp (irisan, gabungan, selisih dan beda setangkup). Hasil operasi tersebut juga berupa relasi.
• Jika R1 dan R2 adalah relasi dari himp A ke himp B, maka operasi R1dan R2 juga adalah relasi dari A ke B.
• Contoh :
• Jika A={a, b, c} dan B={a, b, c, d}. Relasi R1 dan R2 mrpk relasi dari A ke B, dmn R1={(a,a), (b,b), (c,c)} dan R2={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d)}, maka hasil operasi R1 dan R2 adalah sbb :
• R1UR2 = {(a,a)}
• R1∩R2 = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d)}
• R1-R2 = {(b,b), (c,c)}
• R2-R1 = {(a,b), (a,c), (a,d)}
• R1 ÅR2 = {(b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (a,d)}

1. Komposisi relasi

• Jika R adalah relasi dari himp A ke himp B, dan S ada-lah relasi dari himp B ke himp C, maka komposisi R dan S, dinotasikan dengan RoS, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan  oleh :

 RoS={(a,c) : aεA, cεC dan utk bεB, (a,b)εR dan (b,c)εS}

Contoh.

• A={a,b,c} B={1,2,3,4} C={x,y,z}
• R={(a,1), (b,3), (b,4), (c,2)}
• S={(1,x), (2,x), (3,y), (4,z)}
• RoS = {(a,x), (b,y), (b,z), (c,x)}
• Jika disajikan dalam matriks relasi, maka :

                              x  y  z
                         a  1  0  0  

• M(RoS) = b   0  1  1

                        c   1  0  0

FUNGSI

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan dengan tepat setiap unsur pada A ke satu unsur pada B

Jika A dan B adalah himp. Relasi biner f dari A ke B mrpk fungsi jika setiap elemen a dlm A terdapat satu elemen tunggal b di dlm B shg (a,b) ε f. Ditulis f(a)=b. Jika f adalah fungsi dari A ke B, ditulis f : A®B artinya f memetakkan A ke B.

 Ada beberapa bentuk fungsi, yaitu :

1.Fungsi satu-satu yaitu apabila setiap elemen ber-beda dalam A, mempunyai range berbeda.

2.Fungsi onto yaitu jika setiap elemen  B merupakan range berbeda dari elemen A.

3.Fungsi korespondensi satu-satu jika merupakan fungsi satu-satu dan onto.

4 .Fungsi invers yaitu jika dari A ke B merupakan fungsi, maka dari B ke A juga merupakan fungsi. Fungsi korespondensi satu-satu merupakan fungsi invers.

Fungsi Komposisi

Jika g : A -> B, maka y = g(x)

f : B -> C, maka z = f(y)

Maka fungsi komposisi f dan g dapat dituliskan:

h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))

Sebaliknya

Jika f : A -> B, maka y = f(x)

g : B -> C, maka z = g(y)

Fungsi komposisi g dan f dapat dituliskan:

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Contoh fungsi Komposisi

1.Fungsi f : R -> R dan g : R -> R dimana

f(x) = 2x–1  dan g(x) = x2 + 1. Tentukan nilai (fog)(2)!

(fog)(x)= f(g(x))  (fog)(2) = 2(2)2 + 1

= f(x2+1)  (fog)(2) = 9

= 2(x2+1) – 1

= 2x2 + 2 – 1

= 2x2 + 1

2.Jika f(x) = 2x dan f(g(x)) = -10x + 8. Hitunglah g(x)!

subtitusikan f(x) dan f(g(x)) sehingga:

2g(x) = -10x + 8

g(x) = (-10x + 8) / 2

g(x) = -5x + 4

Fungsi Invers

Jika A dan B himpunan tidak kosong, maka himpunan semua pasangan terurut (x,y), dimana x E A dan y E B secara tunggal disebut y = f(x) fungsi. Sebaliknya himpunan pasangan terurut (y,x) dimana y E B dan ditentukan x E A secara tunggal, disebut fungsi invers.

Simbol : f^–1  atau f^–1(y) = x.

Operasi Aljabar pada Fungsi

1.Penjumlahan

dinyatakan dengan f + g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f+g)(x) = f(x) + g(x)

2.Pengurangan

dinyatakan dengan f - g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f-g)(x) = f(x) - g(x)

3.Perkalian

dinyatakan dengan f . g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f.g)(x) = f(x) . g(x)

4.Pembagian

dinyatakan dengan f / g, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (f/g)(x) = f(x) / g(x), dimana g(x)≠ 0